Cours de maths 1re spé
Les fiches de cours de 1re spé, chapitre par chapitre : programme détaillé, définitions et propriétés, formules clés, méthode pas à pas et deux exemples résolus. Chaque fiche renvoie vers les exercices corrigés correspondants.
1. Second degré
Au programme
- Calculer le discriminant
- Résoudre $ax^2+bx+c=0$
- Factoriser, étudier le signe du trinôme
On étudie le trinôme $ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) à l’aide du discriminant $\Delta$. Son signe donne le nombre de racines.
Formules clés
- $\Delta = b^2 - 4ac$
- Si $\Delta > 0$ : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- Si $\Delta = 0$ : racine double $x = \dfrac{-b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle
Méthode
- Identifier $a$, $b$, $c$
- Calculer $Delta$
- Conclure selon le signe de $Delta$
Exemple 1
$x^2 - 5x + 6 = 0$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$, racines $\dfrac{5 \pm 1}{2}$, soit $3$ et $2$.
Exemple 2
$x^2 + 2x - 3 = 0$ : $\Delta = 16$, racines $\dfrac{-2 \pm 4}{2}$, soit $1$ et $-3$.
2. Dérivation
Au programme
- Connaître les dérivées usuelles
- Dériver somme, produit par un réel
- Étudier les variations, la tangente
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$. Le signe de $f'$ donne les variations de $f$.
Formules clés
- $(x^n)' = n x^{n-1}$
- $(u + v)' = u' + v'$, $(k u)' = k u'$
- Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Méthode
- Dériver terme à terme
- Étudier le signe de $f'(x)$
- En déduire le tableau de variations
Exemple 1
$f(x) = 3x^2 - 5x + 1 \Rightarrow f'(x) = 6x - 5$.
Exemple 2
$f(x) = 2x^3 - 4x \Rightarrow f'(x) = 6x^2 - 4$.
3. Suites numériques
Au programme
- Reconnaître arithmétique / géométrique
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$
- Calculer un terme, étudier le sens de variation
Une suite arithmétique augmente d’un pas constant (la raison $r$) ; une suite géométrique est multipliée par une raison $q$ constante.
Formules clés
- Arithmétique : $u_n = u_0 + nr$
- Géométrique : $u_n = u_0 \times q^n$
Méthode
- Calculer la raison ($u_{n+1}-u_n$ ou $u_{n+1}/u_n$)
- Écrire la formule explicite
- Remplacer $n$ par la valeur voulue
Exemple 1
Arithmétique $u_0 = 3$, $r = 2$ : $u_n = 3 + 2n$, donc $u_5 = 13$.
Exemple 2
Géométrique $u_0 = 2$, $q = 3$ : $u_n = 2 \times 3^n$, donc $u_3 = 54$.
4. Produit scalaire
Au programme
- Calculer un produit scalaire avec les coordonnées
- Tester l’orthogonalité
- Utiliser $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$
Le produit scalaire mesure « l’alignement » de deux vecteurs. Il est nul si, et seulement si, les vecteurs sont orthogonaux.
Formules clés
- Coordonnées : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$
- $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$
- Orthogonaux $\iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$
Méthode
- Lire les coordonnées des vecteurs
- Calculer $xx' + yy'$
- Conclure (valeur, ou orthogonalité si nul)
Exemple 1
$\vec{u}(2\,;3)$, $\vec{v}(4\,;-1)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 8 - 3 = 5$.
Exemple 2
$\vec{u}(1\,;2)$, $\vec{v}(4\,;-2)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 4 - 4 = 0$ : vecteurs orthogonaux.
5. Probabilités conditionnelles
Au programme
- Définir une probabilité conditionnelle
- Utiliser un arbre pondéré
- Appliquer la formule des probabilités totales
La probabilité de $B$ sachant $A$ tient compte de l’information « $A$ est réalisé ». Sur un arbre, on multiplie le long des branches.
Formules clés
- $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
Méthode
- Repérer l’événement « sachant »
- Appliquer la formule adaptée
- Vérifier que les probabilités sont entre 0 et 1
Exemple 1
$P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$ : $P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$.
Exemple 2
$P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}25$ : $P(A \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1$.
Fiches alignées sur le programme officiel (1re spé, lycée) — eduscol.education.fr. Contenu et corrigés vérifiés (juin 2026).
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